إريك ريك وجورج شيمر

وليد العبري

في الآونة الأخيرة، اكتسبت النقاشات حول البنيوية الرياضية زخماً مرة أخرى داخل فلسفة الرياضيات، حيث تبحث في القضايا الأنطولوجية والمعرفية بطرق جديدة. تستند هذه النقاشات إلى مناقشات البنيوية التي بدأت في الستينيات في أعمال فلاسفة مثل بول بنصراف وهيلاري بوتنام. إذا ذهبت إلى أبعد من هؤلاء المُفكرين السابقين، فإن هذه النقاشات الجديدة تدرك أيضاً أن الدافع وراء وجهات النظر البنيوية يجب أن يكون مرتبطاً بالتطورات المنهجية في الرياضيات. في الواقع، عملياً جميع الأفكار والأساليب ذات الصلة لها جذور في التحول البنيوي الذي خضعت له الرياضيات الحديثة في القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين، يستكشف هذا المجلد المحرر من المقالات الجديدة لكبار العلماء في فلسفة الرياضيات هذا "ما قبل التاريخ'' الذي تم تجاهله سابقاً البنيوية الرياضية.

يستكشف المساهمون هذه الخلفية التاريخية من خلال بُعدين مختلفين لكنهما مترابطان. أولا، يعيدون النظر في المساهمات المنهجية لشخصيات رئيسية في تاريخ الرياضيات، مثل ديداكن وهيلبرت وبورباكي، المسؤولين عن إدخال أنظمة أعداد جديدة، والجبر، والهندسة التي غيرت مشهد الرياضيات. ثانيا، يعيدون فحص مجموعة من الانعكاسات الفلسفية للفلاسفة ذوي الميول الرياضية، مثل راسليل وكاسيرير كلاين، الذين أدى عملهم إلى استنتاجات عميقة حول الجوانب المنطقية والمعرفية والميتافيزيقية للبنيوية. بشكل عام، لا تُظهر المقالات في هذا المجلد أن تاريخ ما قبل البنيوية الرياضية أغنى بكثير مما يُقدَّر عموما، ولكن أيضاً أنه من الأهمية بمكان مُراعاة هذا التاريخ الفكري الأوسع لإثراء النقاشات الحالية في فلسفة الرياضيات. ستثير الأفكار المتضمنة في هذا المجلد اهتمام العلماء والطلاب في فلسفة الرياضيات وفلسفة العلوم وتاريخ الفلسفة.

من الصعب تحديد ما إذا كان يجب اعتبار هيرمان جراسمان فيلسوفا ذا ميول رياضية أو عالم رياضيات فلسفياً، لأنه كان ذاتي المعرفة في الرياضيات (لقد تعلم الرياضيات بشكل أساسي من كتب والده، يوستس، ومن أطروحة ليجيندر)، باللغة اليونانية فقه اللغة، وجزئياً أيضاً في الفلسفة. درس اللاهوت في جامعة برلين في نهاية العشرينيات من القرن التاسع عشر، وحضر من بين دورات الفلسفة، محاضرات شلايرماخر فقط حول الديالكتيك ومحاضرات ريتر حول تاريخ الفلسفة. على أي حال، فإن مساهماته الرئيسية تتعلق بالرياضيات واللغويات، وليس الفلسفة. أو بالأحرى، حصل على التقدير بشكل أساسي بسبب نتائجه الرياضية وإنجازاته اللغوية، بينما لم تحظ فلسفته في الرياضيات باهتمام مُماثل، حتى بعد وفاته. ومع ذلك، فإنَّ جزءا كبيرا من عمل جراسمان الرياضي مكرس على وجه التحديد للعلاقة بين ظهور نظرية رياضية تجريدية جديدة والحاجة إلى إطار فلسفي جديد لفهمها، أيضاً العلاقة بين تطبيقات معينة لهذه النظرية وخصائص لويبنز العالمية، وأخيرا توصيف التخصصات الرياضية عن طريق الاستنتاج الفلسفي لمفاهيمها الأساسية والرياضيات كعلم التفاصيل المتولدة من عنصر مُعين.

على الرغم من العدد المتزايد من المنشورات المتعلقة بجوانب معينة من كتابات جراسمان الرياضية أو الفلسفية، لا يزال من الصعب العثور على مُعالجة شاملة لفلسفته في الرياضيات. هناك عدة أسباب لذلك: أولاً تختلف فلسفة جراسمان في الرياضيات باختلاف الكتابات، ثانياً من الصعب التمييز بوضوح بين مفهومه ومفهوم شقيقه روبرت، ثالثا حيث يمكن تتبع التمييز، يبدو أن روبرت كان الشخص الأكثر اهتماما بالمنطق وفلسفة المنطق، رابعاً لا يُمكن قراءة أسلوب جراسمان الفلسفي، النموذجي للفلسفة الطبيعية في أوائل القرن التاسع عشر، بسهولة من قبل الفلاسفة المعاصرين، خامساً تم تفسير جراسمان بطرق مختلفة في النصف الثاني من القرن التاسع عشر وفي بداية القرن العشرين. تجسد هذه التفسيرات المصير الفلسفي لجراسمان، والذي ربما يكون أقل "مأساويا" من ثروته الرياضية، ولكنه ليس محظوظا حقا، لأنه غالبا ما كان يستخدم لتأكيد مفهوم معين للرياضيات بدلا من قراءته للتحقق من وجهة نظره حقاً. لم تؤكد هذه التفسيرات بشكل كاف على دور التفاصيل في رياضيات جراسمان (كاسيرير)، ودور الحدس وأسباب العرض شبه البديهي لنظرية الإرشاد والحساب (كلاين)، والاختلافات بين النظرية العامة للأشكال والنظرية الرمزية. معالجة الأشياء الرياضية كعلامات لا يهم مرجعها (هانكل). ومع ذلك، فإن كل هذه الجوانب وثيقة الصلة بفهم جراسمان لتشكيل المفهوم في الرياضيات ومساهمته في تاريخ البنيوية المنهجية والفلسفية. سأحاول إعادة بناء تعريف جراسمان للرياضيات على أنها علم الخاص، والتحقيق في تمييزه المعقد بين الرسمي والواقعي، مشيراً إلى بعض التفسيرات الفلسفية التي نوقشت سابقاً.

لذا فيما يلي لن يكون كافياً أن نتذكر العديد من مساهمات جراسمان الرياضية ذات الصلة بالتحول البنيوي للرياضيات، مثل الجبر المجرد والجبر الخطي ونظرية الأعداد. ستكون المهمة الأكثر أهمية هي إعطاء إعادة بناء معقولة وشاملة لفلسفة جراسمان في الرياضيات، كما تنبثق من أعماله الرياضية الخاصة، بدلاً من التفسيرات المؤثرة اللاحقة، مثل تلك التي كتبها هانكل وكاسيرير وكلاين. نتيجة لذلك، سيظهر أن مفاهيم الجمع الخطي، والمتسلسلة، والإضافة أكثر أهمية بالنسبة لجراسمان من مفاهيم الوظيفة والتخطيط والنظام. الرياضيات هي علم الخاص، والنظرية العامة للأشكال لا تنتمي إليه بشكل صحيح، لأنها تدور حول روابط غير محددة.

من خلال البنيوية المنهجية، أنوي تحليل الطريقة التي يطبقها علماء الرياضيات عندما يقومون بالرياضيات، والتي تطورت بمرور الوقت. عرّف راك وبرايس البنيوية المنهجية على أنها منهجية "تحفز"، بشكل صريح أو ضمني، العديد من وجهات النظر البنيوية في الأدبيات الفلسفية. يستخلص ريك وشيمر في مقدمة هذا المجلد قائمة من الشروط التي ينبغي أن تميز البنيوية المنهجية. أتبع اقتراحهم على نطاق واسع وربط البنيوية المنهجية بالأسئلة المتعلقة. أولا: نقد الرياضيات كعلم مجال معين من الأشياء (على سبيل المثال، الكميات)، فيما يتعلق بالأشياء المنعزلة بدلا من العلاقات، ثانيا: دور الحدس والاستنتاجات الرسمية، ثالثا: دور البديهيات والثوابت والتطبيقات، ورابعا العلاقة بين الطرق البديلة لتأطير الرياضيات (على سبيل المثال، نظرية المجموعات، نظرية الفئات). تتناول هذه البنيوية المنهجية أسئلة فلسفية عميقة، والتي تنشأ غالبا في الممارسة الرياضية نفسها أو في التحليل التاريخي لتطور النظريات الرياضية.

تُستخدم البنيوية الفلسفية هنا كاسم جماعي لعدد كبير من النظريات الفلسفية المختلفة التي تركز على السؤال الأساسي، "ما هي البنية؟" تتعلق القضايا النموذجية، على سبيل المثال، أولا: بما إذا كانت هناك أشياء وعمليات، وما هي علاقاتها بالهياكل، ثانيا: ما إذا كان يمكن تمييز الهياكل العامة عن هياكل معينة وعن النماذج، ثالثا: ما نسميه "رسميا" في هيكل وما هو الدور الذي تلعبه البديهيات داخلها. وفي أحد الأقسام الأخرى تناول، آلية ربط وتحليل هذه القضايا بدراسة الإجابات المقدمة في النقاش الفلسفي المعاصر بواسطة شابيرو، وبارسونز، وفيفرمان، وإيزاكسون، وبورجيس. يتم استخدام التمييز المؤقت بين البنيوية المفهومية والبنية الكائن لتوصيف منظور جراسمان الخاص فيما يتعلق ببعض الأساليب المعاصرة.

الهدف بالتأكيد ليس تحديد ما إذا كان جراسمان رائدا لموقف فلسفي معين في الجدل المعاصر. قد يكون هذا عفا عليه الزمن تماما، لأن الرياضيات والفلسفة تطورتا بعمق منذ زمن جراسمان. من ناحية أخرى، ترتكز العديد من مفاهيم البنيوية إما في نظرية المجموعة أو في إطار فئوي لم يتم تطويره بعد في ذلك الوقت؛ من ناحية أخرى، يعتمد النهج التحليلي للبنيوية على فهم جديد للرياضيات والمنطق تم تقديمه، على سبيل المثال، بواسطة دادكين، فريك، بينو، روسيل وهيلبرت، مما يجعل من الصعب فصل استخدامنا المشترك لمفاهيم معينة (مثل الوظيفة، المفهوم، المساواة) من الاستخدام المقابل الذي قام به جراسمان. ومع ذلك، شريطة توضيح الاختلافات التاريخية بوضوح، فليس من المفارقة أن يتم تقييم جراسمان من منظور الفلسفة المعاصرة للرياضيات، للتحقق مما إذا كان قد طرح أسئلة تتحدى بعض وجهات النظر البنيوية أو أثار قضايا لا تزال بحاجة إلى توضيح.

أما عن الجبر الخطي، فتقدم نظرية تمديد جراسمان العديد من المفاهيم الأساسية للجبر الخطي: الأساس، البعد، المولد، الاعتماد الخطي والاستقلالية. تم تطوير نظرية المتجه لجراسمان بطريقة مجردة بحتة (في اللغة الحديثة، نظام المتجهات هو وحدة نمطية فوق حقل)، وتمييزه من الناحية المفاهيمية عن الهندسة، والتي تعتبر علما تطبيقيا (إنه تطبيق ET على ثلاثي الأبعاد).

تختلف نظرية جراسمان جزئيا عن الأنظمة المعاصرة القائمة على المتجهات، مثل تحليل المتجهات والجبر الخارجي والجبر الهندسي، من وجهة نظر تقنية ومن وجهة نظر فلسفية. تتعلق الاختلافات بإغلاق العمليات، وشرط التجانس عند الإضافة، وتصور المنتج. إلى جانب ذلك، من السمات المهمة لنظام جراسمان أن مفاهيمه عن القاعدة ونظام المولدات (المستقلة) لا تهدف إلى إدخال نظام إحداثيات، بل تهدف إلى التعبير عن فكرة أن جميع مقادير النظام تتميز بواسطة بعض القوانين المولدة.

كما قدم جراسمان نظرية الأعداد الطبيعية، وهي نتيجة التعاون مع شقيقه روبرت. هنا يحل مصطلح "المقدار" محل "الشكل"؛ تُعرَّف الرياضيات بأنها علم المقادير، أي شيء يجب أن يكون مساويا أو غير متكافئ لشيء آخر. قد ينطبق هذا التعريف العام للحجم على أي نوع من الأشكال: حسابي أو موسع أو اندماجي. على أي حال، تتميز المقادير الحسابية بخاصية أخرى، أي حقيقة أنها يتم الحصول عليها من خلال التطبيقات المتتالية لنوع معين من الاتصال (إضافة) إلى مقدار واحد يؤخذ على أنه مُعطى ومشار إليه بواسطة العلامة e. وتجدر الإشارة إلى أن جراسمان لم يذكر الرقم 1 كوحدة حسابية. أي مقدار يؤخذ كعنصر أولي لبناء السلسلة الحسابية، عن طريق الإضافة المتتالية لهذا الحجم الأولي يمكن أن يلعب دور الوحدة. التبادلية والترابط لأي مقادير حسابية يُشار إليها بالرموز أ، ب، ج لا يتم تقديمها كبديهية، ولكنها مشتقة حثيا (الحث) من التبادلية والترابطية أ + ه = ه + أ و (أ + ب) + e = a + (b + e) ​​على التوالي. يوضح هذا الدور الأساسي الذي يلعبه العنصر الأولي وعملية الإضافة في تعريف المقدار الحسابي، وبالتالي لمفهوم السلسلة.

لقد كان جراسمان مؤثرا للغاية، لأنه يقدم أولا: تمييزا واضحا بين الرموز المستخدمة للدلالة على المفاهيم والمفاهيم نفسها، ثانيا: التوازي بين التطور الرمزي والتطور المفاهيمي، ثالثا: فصل واضح بين الافتراضات الأولية والمشتقة، وأخيرا: استخدام الاستقراء كطريقة للاستدلال.

تحت اسم "النظرية العامة للصيغ"، يجمع جراسمان التحقيق في المساواة، والاختلاف، والخصائص المشتركة لبعض الروابط التي تظهر في جميع فروع الرياضيات. على عكس المعالجة المعتادة في الجبر الحديث، فهو لا يبحث في مجموعات من الأشياء الممنوحة لعملية معينة، بل يعتبر الروابط بطريقة رسمية بحتة، مستخلصا من العناصر التي يمكن تطبيقها عليها. صحيح أنه في بعض الأحيان يفكر كما لو كان في فروع رياضية معينة يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار الروابط كما هو الحال دائما بين مقادير معينة، ثم يُظهر أن هذه الوصلات تفي بالمتطلبات التي تسمح للفرد بتسميتها الجمع والضرب على التوالي. ومع ذلك، يمكن القيام بذلك بمجرد إنشاء GTF. وهذا يفسر سبب ادعاء جراسمان أن GTF يجب أن يسبق جميع الفروع الرياضية الأخرى في العرض: هناك أسس معرفية وتعليمية، لأن GTF يوفر أساسا لجميع الفروع الأخرى للرياضيات - من حيث إنها تقدم ما يجب أن يكون موحدا، ولها أعلى درجة من العمومية - وأيضا لأنها تحافظ على التكرار غير المجدي للمفاهيم الأساسية في أطروحة رياضية.

يتم تحديد الأشكال من خلال قانون توليدها، وبالتالي فهي متساوية إذا كان نفس القانون من نفس العنصر الأولي يولدها. غالبا ما تم انتقاد جراسمان بسبب تبنيه لمفهوم ليبنيزي للمساواة باعتباره سلفا للاستبدال حقيقيا بدلا من المفهوم الإقليدي للمساواة كتكافؤ: كما قرأته، تكمن مساواته في منتصف الطريق بين ليبنيز وإقليدس، لأنه يعرّفها على أنها هوية، ويقصرها على بعض سمات المفاهيم بدلا من تعريفها بين الأشياء نفسها.

ثم يأخذ جراسمان في الاعتبار ثلاث اتصالات ويقدم تمييزا من أربعة مستويات بناء على عموميتها المتناقصة.

أولا: يعتقد جراسمان أن الشروط الأكثر تقييدا التي يجب أن تكون مطلوبة من أي اتصال رياضي، تعتمد على عدد الاتصالات التي يتم تقديمها، وعلى العلاقات المتبادلة بينها. لذلك فهو يتطلب من الاتصال الأول (الاتصال من الدرجة الأولى) أن يكون تبادليا وترابطيا، ومن اتصال ثان متعلق بالمرتبة الأولى (اتصال من الدرجة الثانية) أنه يفي بقوانين التوزيع فيما يتعلق بالأول. في هذا مستوى التعميم، الوصلتان (يُشار إليهما على التوالي بواسطة) عمليات ما قبل رياضية بين المفاهيم.

ثانيا: هناك المستوى الرسمي، حيث تكون الشروط أقل تقييدا وتسمى الوصلات من الدرجة الأولى والثانية على التوالي "إضافة رسمية" و "الضرب الرسمي" ويُشار إليها بالرموز الحسابية المعتادة + و ·. الإضافة الرسمية هي ارتباط تركيبي بسيط مع عملية تحليلية ذات قيمة واحدة، بينما الضرب الرسمي هو اتصال من الدرجة الثانية فيما يتعلق بالإضافة المعطاة. هذا هو مستوى GTF، والذي نتج عن تحقيق في خصائص معينة للوصلات المشتركة بين الفروع الرياضية المختلفة.

ثالثا: هناك روابط مجردة بين أشكال التفكير، والتي قد يكون لها خصائص مختلفة اعتمادا على أشكال التفكير التي يتم تطبيقها عليها. على سبيل المثال، في هذا المستوى نجد الجمع والضرب بين الأعداد الطبيعية، أو الجمع والضرب بين مقادير واسعة النطاق. قد تكون هذه الوصلات المجردة مختلفة (على سبيل المثال، يكون الضرب تبادليا في الحالة الأولى وليس تبادليا في الحالة الثانية)، ولكن فقط فيما يتعلق بالخصائص التي لم تكن موجودة بالفعل في المفاهيم "الرسمية" الخاصة بكل منها.

----------------------------------------------------------------

اسم الكتاب: عصور ما قبل التاريخ من البنيوية الرياضية

المؤلف: إريك ريك - جورج شيمر

عدد الصفحات:241 صفحة

سنة النشر:2020

مكان النشر: مطبعة جامعة أكسفورد